Question

6．函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{2a}{x+1}$-a（a∈R）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{9}{4}$，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，$\frac{9}{4}$]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{{（x+1）}^{2}}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，令g（x）=$\frac{{（x+1）}^{2}}{2x}$，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）=lnx+$\frac{2a}{x+1}$-a（a∈R）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{（x+1）}^{2}-2ax}{{x（x+1）}^{2}}$，
若函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
則（x+1）²-2ax≥0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{{（x+1）}^{2}}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{{（x+1）}^{2}}{2x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），
則g（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$+1≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{1}{2x}}$+1=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立，
故a≤2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．