Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng)（）.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在正整數(shù)，使不等式恒成立，若存在，求出

的最大值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1） （2）存在,11

【解析】

試題分析：

（1） 解法一：根據(jù)是與的等差中項(xiàng)，利用等差中項(xiàng)得到，（）①,

當(dāng)時有 ②, 則 ①-②可得，從而可得數(shù)列通項(xiàng).

解法二: 根據(jù)是與的等差中項(xiàng)，利用等差中項(xiàng)得到，（）①,根據(jù)該式的結(jié)構(gòu)特征,利用構(gòu)造法,可構(gòu)造出等比數(shù)列,從而求得,進(jìn)而利用得到數(shù)列的通項(xiàng).

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知,數(shù)列是等比數(shù)列,所以可以得到其前項(xiàng)和;代入化簡,討論的奇偶發(fā)現(xiàn), 為奇數(shù)時,恒成立; 為偶數(shù)時,可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立問題,利用單調(diào)性可判斷是否存在這樣的正整數(shù).

試題解析：（1）解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721250146113018/SYS201411172125096958616840_DA/SYS201411172125096958616840_DA.002.png">是與的等差中項(xiàng)，

所以（），即，（）①

當(dāng)時有 ②

①-②得，即對都成立

又根據(jù)①有即，所以

所以. 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.

解法二： 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721250146113018/SYS201411172125096958616840_DA/SYS201411172125096958616840_DA.002.png">是與的等差中項(xiàng)，

所以（），即，（）

由此得（），

又，所以 （），

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

得，即（），

所以，當(dāng)時，，

又時，也適合上式， 所以.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知,

數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,

所以其前項(xiàng)和為.

原問題等價于（）①恒成立.

當(dāng)為奇數(shù)時，不等式左邊恒為負(fù)數(shù),右邊恒為正數(shù),所以對任意正整數(shù)不等式恒成立；

當(dāng)為偶數(shù)時，①等價于恒成立，

令，有，則①等價于在恒成立，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721250146113018/SYS201411172125096958616840_DA/SYS201411172125096958616840_DA.038.png">為正整數(shù)，二次函數(shù)的對稱軸顯然在軸左側(cè),

所以當(dāng)時,二次函數(shù)為增函數(shù),故只須，解得，，

所以存在符合要求的正整數(shù)，且其最大值為11.

考點(diǎn)：等差中項(xiàng);利用求通項(xiàng);構(gòu)造等比數(shù)列法;分類討論;二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立.