Question

一條斜率為1的直線l與離心率為的雙曲線交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且，，求直線與雙曲線方程

Answer 1

解：∵雙曲線的離心率為，b²=2a²，
∴雙曲線方程即：﹣=1，
設(shè)直線l方程：y=x+k，點R（0，k）
代入雙曲線方程得：x²﹣2kx﹣k²﹣2a²=0，
設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）則x₁+x₂=2k，則x₁x₂=﹣k²﹣2a²，
∵，∴（x₁，y₁）●（x₂，y₂）=x₁x₂+（x₁+k）●（x₂+k）=2x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²=2（﹣k²﹣2a²）+k●2k+k²=k²﹣4a²=﹣3      
①，∵，∴（x₂﹣x₁，x₂﹣x₁）=4（x₂﹣0，x₂+k﹣k），∴x₁=﹣3x₂
②把②代入根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁=3k，x₂=﹣k，k²=a²，再由①得：a=1，k=±1，
∴直線l的方程為x﹣y﹣1=0 或x﹣y+1=0，
雙曲線的方程：x²﹣=1．