Question

橢圓E：

x2

a2

+y²=1（a＞1）與雙曲線H：

x2

m2

-y²=1（m＞0）有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，E與H在第一象限的交點(diǎn)為P，則△PF₁F₂的面積為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：利用橢圓、雙曲線的定義，求出|PF₁|=m+a，|PF₂|=a-m，結(jié)合橢圓E：

x2

a2

+y²=1（a＞1）與雙曲線H：

x2

m2

-y²=1（m＞0）有相同的焦點(diǎn)，可求得∠F₁PF₂=90°，從而可得△PF₁F₂的面積．

解答：解：由題意，|PF₁|-|PF₂|=2m，|PF₁|+|PF₂|=2a
∴|PF₁|=m+a，|PF₂|=a-m
∵橢圓E：

x2

a2

+y²=1（a＞1）與雙曲線H：

x2

m2

-y²=1（m＞0）有相同的焦點(diǎn)
∴a²-1=m²+1
∴a²-m²=2
∴cos∠F₁PF₂=

2m2+2a2-4(a2-1)

2(m+a)(m-a)

=

2m2+2a2-4(a2-1)

2(m+a)(a-m)

=

0

2×2

=0
∴∠F₁PF₂=90°
∴△PF₁F₂的面積為

1

2

|PF₁||PF₂|=

1

2

（a²-m²）=1
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線的定義，考查余弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．