①命題“對(duì)任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1>0”;
②函數(shù)f(x)=2x-x2的零點(diǎn)有2個(gè);
③若函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=0;
④函數(shù)y=sinx(x∈[-π,π])圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=
x
-x
sinxdx;
⑤若函數(shù)f(x)=
ax-5(x>6)
(4-
a
2
)x+4(x≤6)
,在R上是單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,8).
其中真命題的序號(hào)是
①③
①③
(寫出所有正確命題的編號(hào)).
分析:①根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷.②利用根的存在性定理進(jìn)行判斷.③根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.④根據(jù)積分的應(yīng)用求面積.⑤根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.
解答:解:①根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可知,命題“對(duì)任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1>0”,∴①正確.
②由f(x)=2x-x2=0,得2x=x2,由函數(shù)y=2x和y=x2的圖象可知,函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn),∴②錯(cuò)誤.
③若函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),則f(-x)=f(x),即|-x+a|=|x+a|,解得a=0,∴③正確.
④根據(jù)積分的應(yīng)用可知,函數(shù)y=sinx(x∈[-π,π])圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=
x
-x
|sinx|dx,∴④錯(cuò)誤.
⑤要使函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,則滿足
a>1
4-
a
2
>0
a≥(4-
a
2
)×6+4
,即
a>1
a<8
4a≥20
,解得5≤a<8,∴⑤錯(cuò)誤.
故答案為:①③.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng).
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  1. A.
    不存在x∈R,x2-2x-3≤0
  2. B.
    存在x∈R,x2-2x-3≤0
  3. C.
    存在x∈R,x2-2x-3>0
  4. D.
    對(duì)任意的x∈R,x2-2x-3>0

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    (A) 不存在   (B)存在

    (C) 存在x∈R,x2-2x-3>0    (D) 對(duì)任意的x∈R,x2-2x-3>0

 

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