已知函數(shù)f（x）=lnx+
a-x
x
，其中a為常數(shù)，且a＞0．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=
1
2
x+1垂直，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為
1
2
，求a的值．
f′（x）=
1
x
+
-x-(a-x)
x2
=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
（x＞0）（4分）
（1）因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=
1
2
x+1垂直，
所以f'（1）=-2，即1-a=-2，解得a=3．（6分）
（2）當0＜a≤1時，f'（x）＞0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為增函數(shù)∴f（x）min=f（1）=a-1．
∴a-1=
1
2
，a=
3
2
，不合（8分）
當1＜a＜2時，由f'（x）=0得，x=a∈（1，2）
∵對于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上為減函數(shù)，
對于x∈（a，2）有f'（x）＞0，f（x）在[a，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）min=f（a）=lna．
∴l(xiāng)na=
1
2
，a=
e
，（11分）
當a≥2時，f'（x）＜0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，∴f（x）min=f（2）=ln2+
a
2
-1，
∴l(xiāng)n2+
a
2
-1=
1
2
，a=3-2ln2，不合．
綜上，a的值為
e
．（13分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案