Question

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{x_n}，其中x₁=a，求證：
（1）x_n＞2，且；
（2）如果a≤3，那么．

Answer 1

【答案】分析：（1）我們用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，先證明不等式x_n＞2當(dāng)n=1時成立，再假設(shè)不等式x_n＞2當(dāng)n=k（k≥1）時成立，進而證明當(dāng)n=k+1時，不等式x_k+1＞2也成立，最后得到不等式x_n＞2對于所有的正整數(shù)n成立；
（2）我們用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，先證明不等式當(dāng)n=1時成立，再假設(shè)不等式當(dāng)n=k（k≥1）時成立，進而證明當(dāng)n=k+1時，不等式也成立，最后得到不等式對于所有的正整數(shù)n成立；
解答：證明：（1）①當(dāng)n=1時，
∵=，
==2+，x₁=a＞2，
∴2＜x₂＜x₁．
結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即2＜x_k+1＜x_k（k∈N⁺），
則=＞x_k+1，
=2+＞2．
∴2＜x_k+2＜x_k+1，
綜上所述，由①②知2＜x_n+1＜x_n．
∴x _n＞2且．
（2）由條件x₁=a≤3知不等式當(dāng)n=1時成立
假設(shè)不等式當(dāng)n=k（k≥1）時成立
當(dāng)n=k+1時，由條件及x_k＞2知

≤0，
再由x_k＞2及歸納假設(shè)知，
上面最后一個不等式一定成立，
所以不等式也成立，
從而不等式對所有的正整數(shù)n成立
點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．