Question

20．下列四個(gè)命題：
①定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-2）=f（2），則f（x）不是奇函數(shù)
②定義在R上的函數(shù)f（x）恒滿足f（-x）=|f（x）|，則f（x）一定是偶函數(shù)
③一個(gè)函數(shù)的解析式為y=x²，它的值域?yàn)閧0，1，4}，這樣的不同函數(shù)共有9個(gè)
④設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，則對于定義域中的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，
其中為真命題的序號有②③④（填上所有真命題的序號）．

Answer 1

分析 ①②利用函數(shù)的奇偶性判定；③函數(shù)的解析式為y=x²，它的值域?yàn)閧0，1，4}，則x必有0，±1至少有一個(gè)，±2至少有一個(gè)；④根據(jù)函數(shù)f（x）=lnx的單調(diào)性判定．

解答 解：對于①，定義在R上的函數(shù)f（x）可以滿足f（-2）=f（2）=0，故錯(cuò)；
對于②，由f（-x）=|f（x）|≥0得f（-x）≥0對于任意x成立，則x取-x也成立即f（x）≥0，則f（-x）=f（x），∴f（x）一定是偶函數(shù)，該命題是真命題滿足偶函數(shù)的定義，故正確；
對于③，一個(gè)函數(shù)的解析式為y=x²，它的值域?yàn)閧0，1，4}，則x必有0，±1至少有一個(gè)，±2至少有一個(gè)，這樣的不同函數(shù)共有9個(gè)，故正確；
對于④，函數(shù)f（x）=lnx是定義域內(nèi)的增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)定義，則對于定義域中的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，故正確
故答案為：②③④

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、定義域、值域、單調(diào)性，屬于中檔題