13.在△ABC中,已知a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且滿足$\frac{2b+c}{a}$=-$\frac{cosC}{cosA}$.
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的面積為2$\sqrt{3}$,其外接圓半徑R=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$,求△ABC的周長(zhǎng).

分析 (Ⅰ)利用正弦定理,結(jié)合和角的正弦公式,即可得出結(jié)論.
(Ⅱ)利用三角形面積公式可求bc=8,由已知結(jié)合正弦定理可求a,進(jìn)而利用余弦定理,可求b+c的值,即可得解.

解答 解:(Ⅰ)∵$\frac{2b+c}{a}$=-$\frac{cosC}{cosA}$,
∴利用正弦定理可得:-2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC,
化為:-2sinBcosA=sin(C+A)=sinB,
∵sinB≠0,
∴cosA=-$\frac{1}{2}$,
∵A∈(0,π),
∴A=$\frac{2π}{3}$.
(Ⅱ)∵A=$\frac{2π}{3}$,
∴△ABC的面積為2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×bc×\frac{\sqrt{3}}{2}$,解得:bc=8,
∵外接圓半徑R=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$,
∴由正弦定理可得:$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{4\sqrt{21}}{3}$,解得:a=2$\sqrt{7}$,
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:28=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-8,解得:b+c=6,
∴△ABC的周長(zhǎng)為:a+b+c=2$\sqrt{7}$+6.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理、余弦定理,三角形面積公式,和角的正弦公式在解三角形中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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