Question

6．某企業(yè)擬在2011年度進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，已知其產(chǎn)品年銷量x萬件與年促銷費(fèi)用t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例，當(dāng)年促銷費(fèi)用t=0萬元時(shí)，年銷量是1萬件．已知2011年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件產(chǎn)品售價(jià)定為：其生產(chǎn)成本的150%與“平均每件促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的商品正好能銷完．
（1）將2011年的利潤(rùn)y（萬元）表示為促銷費(fèi)t（萬元）的函數(shù)；
（2）該企業(yè)2011年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？
（注：利潤(rùn)=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)3-x與t+1成反比例，當(dāng)年促銷費(fèi)用t=0萬元時(shí)，年銷量是1萬件，可求出k的值；進(jìn)而通過x表示出年利潤(rùn)y，并化簡(jiǎn)整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)；
（2）利用基本不等式求出最值，即可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意：3-x=$\frac{k}{t+1}$，將t=0，x=1代入k=2，∴x=3-$\frac{2}{t+1}$…（2分）
當(dāng)年生產(chǎn)x（萬件）時(shí)，年生產(chǎn)成本=32x+3=32（3-$\frac{2}{t+1}$）+3，…（4分）
當(dāng)銷售x（萬件）時(shí)，年銷售收入=150%[32（3-$\frac{2}{t+1}$）+3]+$\frac{1}{2}$t       …（6分）
由題意，生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品正好銷完
∴年利潤(rùn)=年銷售收入-年生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)即y=$\frac{-{t}^{2}+98t+35}{2（t+1）}$（t≥0）…（7分）
（2）∵y=50-（$\frac{t+1}{2}$+$\frac{32}{t+1}$）≤50-2$\sqrt{16}$=42萬件                …（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{t+1}{2}$=$\frac{32}{t+1}$，即t=7時(shí)，y_max=42∴當(dāng)促銷費(fèi)定在7萬元時(shí)，利潤(rùn)增大．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．