Question

12．如圖：ABCD是菱形，SAD是以AD為底邊等腰三角形，$SA=SD=\sqrt{39}$，$AD=2\sqrt{3}$，且二面角S-AD-B大小為120°，∠DAB=60°．
（1）求證：AD⊥SB；
（2）求SC與SAD平面所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)E，連SE，BE，證明AD⊥平面SBE，即可證明：AD⊥SB；
（2）過S作SO⊥直線BE，垂足為O，證明∠SEB為二面角的平面角，再求SC與SAD平面所成角的正弦值．

解答 （1）證明：取AD的中點(diǎn)E，連SE，BE，
由題意知△ABD為正三角形，
∴SE⊥AD，BE⊥AD．
又SE∩BE=E，
∴AD⊥平面SBE，SB?平面SBE，
∴AD⊥SB．
（2）解：過S作SO⊥直線BE，垂足為O，
由（1）知平面ABCD⊥平面SBE，
則SO⊥平面ABCD，連OE，則AD⊥OE．
∴∠SEB為二面角的平面角，∠SEO=60°，
∴$SO=6sin60°=3\sqrt{3}$．
∵BC∥SAD，C到SAD距離為B到SAD距離，
由B作SE垂直BO₁，由（1）知平面ASD⊥平面SBE，平面BO₁⊥平面SAD，
BE=3，$B{O_1}=2sin60°=\frac{3}{2}\sqrt{3}$．OE=3，EB=3，∴OABD是平行四邊形，O在直線CD上，SC²=SO²+OC²=27+48=75，$SC=5\sqrt{3}$．
設(shè)線面角為α，$sinα=\frac{{B{O_1}}}{SC}=\frac{3}{10}$，∴SC與平面SAD所成角的正弦值為$\frac{3}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．