Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點(diǎn)。

（1）求證：AF∥平面BCE；

（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；

（3）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）45°.

【解析】

試題分析：（1）由于點(diǎn)F為中點(diǎn)，取線段CE的中點(diǎn)P即可得到，BP與AF平行，根據(jù)線面平行的判斷定理即可得到結(jié)論.

（2）欲證面面垂直，由判定定理即可得到結(jié)論.在等邊三角形ACD中，AF垂直CD，又有AB垂直于AF，即可得到AF垂直于平面CDE.由此可得結(jié)論.

（3）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角，建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)所給的條件寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫(xiě)出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量的夾角，即可得到結(jié)論.另解通過(guò)延長(zhǎng)EB與DA構(gòu)造出兩平面的交線，由此可得到二面角的平面角.

試題解析：（1）【解析】
取CE中點(diǎn)P，連結(jié)FP、BP，

∵F為CD的中點(diǎn)，∴FP∥DE，且.

又AB∥DE，且，∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP

又∵平面BCE，BP平面BCE，

∴AF∥平面BCE

（2）∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD.

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，

∴DE⊥AF.又AF⊥CD，,

∴AF⊥平面CDE

又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE

（3）法一、由（2），以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，

FA，F(xiàn)D，F(xiàn)P所在的直線分別為x，y，z軸（如圖），

建立空間直角坐標(biāo)系F—xyz.設(shè)AC=2，

則C（0，-1,0），B（，0,1），E（0,1,2）.

設(shè)為平面BCE的法向量，

∴，∴，令n=1，則

顯然，為平面ACD的法向量.

設(shè)面BCE與面ACD所成銳二面角為，

則.∴.

即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°

法二、延長(zhǎng)EB、DA，設(shè)EB、DA交于一點(diǎn)O，連結(jié)CO.

則面EBC面DAC=CO.

由AB是△EDO的中位線，則DO=2AD.

在△OCD中∵OD=2AD=2AC，∠ODC=60°.

OC⊥CD，又OC⊥DE.

∴OC⊥面ECD，而CE面ECD，

∴OC⊥CE，∴∠ECD為所求二面角的平面角

在Rt△EDC中，∵ED=CD，∴∠ECD=45°

即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°.

考點(diǎn)：1.線面平行的判定.2.面面垂直的判定.3.二面角的求法.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 考點(diǎn)2：異面直線所成的角 考點(diǎn)3：線面所成的角 試題屬性

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