Question

如圖，已知PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，直線PO交⊙O于B，C兩點(diǎn)，D是OC的中點(diǎn)，連接AD并延長交⊙O于點(diǎn)E，若PA=2

3

，∠APB=30°，則AE=

 

．

Answer 1

分析：連接OA，由AP為圓的切線，得到∠PAO=90°，過A作AM垂直于AC，過O作OF垂直于AE，根據(jù)垂徑定理得到F為AE的中點(diǎn)，在直角三角形APO中，由AP的長及∠APO的度數(shù)，利用正切函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出半徑OA的長，由D為OC的中點(diǎn)，可求出OD的長，同時(shí)得到∠AOD的度數(shù)，在三角形AOD中，根據(jù)余弦定理求出AD的長，再由OD及邊上的高AM求出三角形AOD的面積，此三角形的面積還可以用AD及邊上的高OF表示，進(jìn)而求出OF的長，在直角三角形AOF中，由OA和OF的長，利用勾股定理求出AF的長，進(jìn)而求出AE的長．

解答：解：連接OA，過O作OF⊥AE，過A作AM⊥PC，如圖所示，
∵PA為圓O的切線，
∴∠PAO=90°，又PA=2

3

，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，
∴OA=PAtan30°=2

3

×

3

3

=2，又D為OC中點(diǎn)，故OD=1，
根據(jù)余弦定理得：AD²=OA²+OD²-2OA•ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=

7

，
∵在Rt△APM中，∠APM=30°，且AP=2

3

，
∴AM=

1

2

AP=

3

，
故三角形AOD的面積S=

1

2

OD•AM=

3

2

，則S=

1

2

AD•OF=

7

2

OF=

3

2

，
∴OF=

21

7

，
在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理得：AF=

OA2-OF2

=

5 7

7

，
則AE=2AF=

10 7

7

．
故答案為：

10 7

7

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有銳角三角函數(shù)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，以及垂徑定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，直線與圓相切時(shí)，常常連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形解決問題，直線與圓相交時(shí)，常常由弦心距，弦的一半及圓的半徑構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)生做此類題應(yīng)注意輔助線的作法．