Question

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且asinAsinB+bcos²A=

2

a．
（Ⅰ）求

b

a

的值；
（Ⅱ）若A，B，C成等差數(shù)列，求cosC的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得到sinB=

2

sinA，所求式子再利用正弦定理化簡(jiǎn)即可求出值；
（Ⅱ）由A，B，C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，代入sinB=

2

sinA中求出sinA的值，確定出cosA的值，cosC變形為-cos（A+B），利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，把各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，asinAsinB+bcos²A=

2

a，
∴由正弦定理化簡(jiǎn)得：sin²AsinB+sinBcos²A=sinB=

2

sinA，
∴

b

a

=

sinB

sinA

=

2

；
（Ⅱ）∵A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
∵sinB=

2

sinA，
∴sinA=

2

2

×

3

2

=

6

4

，且0＜A＜B=

π

3

，
∴cosA=

1-sin2A

=

10

4

，
則cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

10

4

×

1

2

+

6

4

×

3

2

=

3 2 - 10

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．