如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的短軸長。與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于點，直線分別與相交于點。

（1）求、的方程；

（2）求證：。

（3）記的面積分別為，若，求的取值范圍。

 

【答案】

（1）；（2）見解析；（3） .

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)，建立的方程組即得；

（2）通過設(shè)直線并聯(lián)立 應(yīng)用韋達定理及平面向量的坐標運算證得，從而得到 ；

（3）通過設(shè)直線，聯(lián)立方程組，；

聯(lián)立，

利用三角形面積公式分別計算,用表示，從而得到.

試題解析：

（1） （1分）

又，得 （2分）

（2）設(shè)直線則 （3分）

=0

（5分）

（3）設(shè)直線

，同理可得

（8分）

同理可得

（2分）

（13分）

考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達定理，平面向量的數(shù)量積，基本不等式.

 

練習冊系列答案
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如圖，橢圓的離心率為，是其左右頂點，是橢圓上位于軸兩側(cè)的點（點在軸上方），且四邊形面積的最大值為4．

（1）求橢圓方程；

（2）設(shè)直線的斜率分別為，若，設(shè)△與△的面積分別為，求的最大值．

 

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如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的短軸長。與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于點，直線分別與相交于點。

（1）求、的方程；

（2）求證：。

（3）記的面積分別為，若，求的取值范圍。

 

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（本小題滿分12分）如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.

 

(Ⅰ)求橢圓M的標準方程；

(Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（山東卷解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.

(Ⅰ)求橢圓M的標準方程；

(Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值.

 

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