Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)區(qū)間？若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-2lnx，確定函數(shù)在[1，3]上的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求得函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在(0，

1

2

)單調(diào)遞減；(

1

2

，+∞)單調(diào)遞增，求導(dǎo)函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）f（x）-h（x）=0，等價(jià)于x²-2lnx=x²-x+a，即a=x-2lnx
令g（x）=x-2lnx，則g′(x)=1-

2

x

=

x-2

2

∴x∈[1，2]時(shí)，g′（x）≤0，函數(shù)g（x）=x-2lnx在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞減；x∈[2，3]時(shí)，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）=x-2lnx在[2，3]內(nèi)單調(diào)遞增．
又因?yàn)間（1）=1，g（2）=2-2ln2，g（3）=3-2ln3
故2-2ln2＜a≤3-2ln3
（2）∵h(yuǎn)（x）=x²-x+a在(0，

1

2

)單調(diào)遞減；(

1

2

，+∞)單調(diào)遞增
∴f（x）=x²-mlnx也應(yīng)在(0，

1

2

)單調(diào)遞減；(

1

2

，+∞)單調(diào)遞增
∵f′(x)=2x-

m

x

=

2x2-m

x

，
∴當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）=x²-mlnx在（0，+∞）單調(diào)遞增，不滿足條件；當(dāng)m＞0且

m 2

=

1

2

，即m=

1

2

，函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)區(qū)間．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．