Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別為CC₁、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB₁上的點(diǎn)，且B₁F=3BF
（I）證明：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若AC=2

2

，CC1=2，BC=

2

，∠ACB=

π

3

，求二面角B-AD-C的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連結(jié)EO，OB，由已知條件推導(dǎo)出四邊形EFBO是平行四邊形，由此能夠證明EF∥平面ABC．
（Ⅱ）作BG⊥AC，BH⊥AD，連結(jié)GH，則∠BHG是二面角B-AD-C的平面角，由此能求出二面角B-AD-C的大小．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連結(jié)EO，OB，
由題意知EO∥BF，且EO=

1

4

CC1，BF∥CC₁，且BF=

1

4

CC1，
∴EO

∥

.

CC₁，∴四邊形EFBO是平行四邊形，
∴EF∥OB，
∵EF不包含于平面ABC，BO?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（Ⅱ）解：作BG⊥AC，BH⊥AD，連結(jié)GH，
∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，∴BG⊥AD，BH∩BG=B，
∴AD⊥平面BHG，∴HG⊥AD，
∴∠BHG是二面角B-AD-C的平面角，
由已知得△ABC為直角三角形，
在Rt△ABC中，S△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

BG•AC，
∵AC=2

2

，CC1=2，BC=

2

，∠ACB=

π

3

，
∴AB=

6

，解得BG=

6

2

在Rt△ABD中，S_△ABD=

1

2

AB•BD=

1

2

AD•BH，
∴BH=

2

，
在Rt△BHG中，sin∠BHG=

BG

BH

=

3

2

，∴∠BHG=

π

3

，
∴二面角B-AD-C的大小為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．