Question

（2010•深圳二模）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a_n是S_n和2的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)1≤i≤j≤n（i，j，n均為正整數(shù)）時，求a_i和a_j的所有可能的乘積a_ia_j之和T_n；
（3）設(shè)M=

2

T1

+

22

T2

+…+

2n

Tn

(n∈N*)，求證：

1

2

≤M＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由a_n是S_n和2的等差中項(xiàng)，知S_n+2=2a_n，由此入手能求出a_n．
（2）由a_i和a_j的所有可能乘積a_i•a_j=2^i+j（1≤i≤j≤n）可構(gòu)成下表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ，…2ⁿ⁺ⁿ…．構(gòu)造如下n行n列的數(shù)表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺¹，2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺¹，2³⁺²，2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ，…2ⁿ⁺¹，2ⁿ⁺²，2ⁿ⁺³，…，2^n+（n-1），2ⁿ⁺ⁿ，求a_i和a_j的所有可能的乘積a_ia_j之和T_n．
（3）Tn=

4

3

(2n-1)•(2n+1-1)，

2n

Tn

=

3×2n

4(2n-1)•(2n+1-1)

=

3

4

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，M=

2

T1

+

22

T2

+…+

2n

Tn

=

3

4

(1-

1

2n+1-1

)．由此能夠證明

1

2

≤M＜

3

4

．

解答：解：（1）∵a_n是S_n和2的等差中項(xiàng)，
∴S_n+2=2a_n，①…（1分）
當(dāng)n=1時，S₁+2=2a₁，解得a₁=2．
當(dāng)n∈N^*，n≥2時，S_n-1+2=2a_n-1（n∈N^*，n≥2）．②
①-②得  S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n∈N^*，n≥2），
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴

an

an-1

=2（n∈N^*，n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）．…（5分）
（2）由a_i和a_j的所有可能乘積a_i•a_j=2^i+j（1≤i≤j≤n）可構(gòu)成下表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ
…2ⁿ⁺ⁿ…（7分）
構(gòu)造如下n行n列的數(shù)表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺¹，2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺¹，2³⁺²，2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ
…2ⁿ⁺¹，2ⁿ⁺²，2ⁿ⁺³，…，2^n+（n-1），2ⁿ⁺ⁿ
設(shè)上表第一行的和為T，則T=

4(1-2n)

1-2

=4(2n-1)．
于是 2T_n=T（1+2+2²+…+2^n-1）+（2²+2⁴+…+2²ⁿ）=4(2n-1)•(2n-1)+

22(4n-1)

4-1

=

4

3

(2n-1)•(2n+2-2)．
∴Tn=

4

3

(2n-1)•(2n+1-1)．…（10分）
（3）∵Tn=

4

3

(2n-1)•(2n+1-1)，
∴

2n

Tn

=

3×2n

4(2n-1)•(2n+1-1)

=

3

4

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，…（12分）
∴M=

2

T1

+

22

T2

+…+

2n

Tn

=

3

4

[(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=

3

4

(1-

1

2n+1-1

)．
∵2ⁿ⁺¹-1≥3，
∴

1

2

≤

3

4

(1-

1

2n+1-1

)＜

3

4

．
即

1

2

≤M＜

3

4

．…（14分）

點(diǎn)評：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式的證明、數(shù)列的求和等知識，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力和化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想．