Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（5+x）=f（-x），（x-

5

2

）f'（x）＞0，則“f（x）＞f（x+1）”是“x＜2”的（　　）條件．

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充分必要

D．既不充分也不必要

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件f（5+x）=f（-x）求出其對(duì)稱軸，再根據(jù)(x-

5

2

)f′(x)＞0討論函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的圖象進(jìn)行求解；

解答：解：∵定義在R上的函數(shù)y=f（x），
f（5+x）=f（-x）可得函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

5+x-x

2

=

5

2

，
∵(x-

5

2

)f′(x)＞0，
當(dāng)x＞

5

2

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＜

5

2

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)f（x）＞f（x+1），說明f（x）為減函數(shù)，故有x+1≤

5

2

，解得x≤

3

2

，
“x≤

3

2

”⇒“x＜2”，而“x＜2”⇒“x≤

3

2

”不一定成立，
∴“f（x）＞f（x+1）”是“x＜2”的充分不必要條件，
故選A；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是一道基礎(chǔ)題，還涉及充分必要條件的定義；