Question

6．已知數(shù)列{a_n}中，設a₁=1，a_n+1=3a_n+1（n∈N^*），若b_n=$\frac{n}{（{3}^{n}-1）•{2}^{n-2}}$•a_n，T_n是{b_n}的前n項和，若不等式2ⁿλ＜2^n-1T_n+n對一切的n∈N₊恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，1）．

Answer 1

分析 可設a_n+1+t=3（a_n+t），化簡由條件可得t，運用等比數(shù)列的通項公式可得a_n，b_n，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，可得T_n，由題意可得不等式2ⁿλ＜2ⁿ⁺¹-2對一切的n∈N₊恒成立．即為λ＜2-（$\frac{1}{2}$）^n-1對一切的n∈N₊恒成立．判斷不等式右邊數(shù)列的單調(diào)性，求得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：數(shù)列{a_n}中，設a₁=1，a_n+1=3a_n+1（n∈N^*），
可設a_n+1+t=3（a_n+t），即為a_n+1=3a_n+2t，
即有2t=1，即t=$\frac{1}{2}$．
則a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
則a_n+$\frac{1}{2}$=（a₁+$\frac{1}{2}$）•3^n-1，
可得a_n=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1），
則b_n=$\frac{n}{（{3}^{n}-1）•{2}^{n-2}}$•a_n=$\frac{n}{（{3}^{n}-1）•{2}^{n-2}}$•$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
T_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+2•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減可得$\frac{1}{2}$T_n=1+（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡可得T_n=4-（2n+4）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
不等式2ⁿλ＜2^n-1T_n+n對一切的n∈N₊恒成立，
即有不等式2ⁿλ＜2ⁿ⁺¹-2對一切的n∈N₊恒成立．
即為λ＜2-（$\frac{1}{2}$）^n-1對一切的n∈N₊恒成立．
由2-（$\frac{1}{2}$）^n-1在n∈N₊遞增，可得n=1時，取得最小值1，
則λ＜1．
故答案為：（-∞，1）．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用構(gòu)造數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，以及不等式恒成立問題的解法，注意運用單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．