Question

設(shè)，函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]且f（0）=0，f（1）=1當x≥y時有f（）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．（1）求f（），f（）；
（2）求α的值；
（3）求函數(shù)g（x）=sin（α-2x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）f（）=f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sin α．
f（）=f（）=f（）sinα+（1-sinα）f（0）=sin²α．
（2）∵f（）=f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（）=sinα+（1-sinα）sinα=2sinα-sin²α．
f（）=f（）=f（）sinα+（1-sinα）f（）=（2sinα-sin²α ）sinα+（1-sinα）sin²α=3sin²α-2sin³α，
∴sinα=3sin²α-2sin³α，解得sin α=0，或 sin α=1，或 sin α=．
∵，∴sin α=，α=．
（3）函數(shù)g（x）=sin（α-2x）=sin（-2x）=-sin（2x-），令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，
故函數(shù)g（x）的減區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，故函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈z．
分析：（1）根據(jù)f（）=f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0），運算求得結(jié)果，再根據(jù)f（）=f（）=f（）sinα+（1-sinα）f（0），運算求得結(jié)果．
（2）求出f（）=f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（）=2sinα-sin²α．同理求得f（）=3sin²α-2sin³α，再由sinα=3sin²α-2sin³α，解得sin α的值，從而求得α的值．
（3）化簡函數(shù)g（x）=sin（α-2x）=-sin（2x-），令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到g（x）的減區(qū)間．令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，
求得x的范圍，即可得到g（x）的增區(qū)間．
點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應用，復合三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．