Question

15．梯形ABCD沿中位線EF折起成空間圖形ABEC₁D₁F，求證：
（1）AD₁，BC₁所在直線相交（記交點(diǎn)為P）；
（2）設(shè)AD、BC交于R，EC₁、FD₁交于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）由AB∥DC₁，且AB＞DC₁，得AD₁，BC₁共面且不平行，由此能證明AD₁，BC₁所在直線相交（記交點(diǎn)為P）．
（2）由已知推導(dǎo)出P、Q、R三點(diǎn)分別是平面APR和平面APR的公共點(diǎn)，由此利用公理二得P、Q、R三點(diǎn)共線．

解答 證明：（1）∵梯形ABCD沿中位線EF折起成空間圖形ABEC₁D₁F，
∴空間圖形ABEC₁D₁F中，AB∥DC₁，且AB＞DC₁，
∴A、B、C₁、B₁共面，且AD₁，BC₁所在直線不平行，
∴AD₁，BC₁所在直線相交（記交點(diǎn)為P）．
（2）∵AD₁，BC₁所在直線相交，交點(diǎn)為P，
∴p∈AD₁，且P∈BC₁，
∵AD₁?平面APR，∴P∈平面APR，
∵BC₁?平面BPR，∴P∈平面BPR，
∵AD、BC交于R，∴R∈AD，且R∈BC，
∵AD?平面APR，∴R∈平面APR，
∵BC?平面BPQ，∴R∈平面BPR，
∵EC₁、FD₁交于Q，∴Q∈EC₁，且Q∈FD₁，
∵FD₁?平面APR，∴Q∈平面APR，
∵EC₁?平面BPR，∴Q∈平面BPR，
∴P、Q、R三點(diǎn)分別是平面APR和平面APR的公共點(diǎn)，
∵平面APR∩平面APR=PR，
∴由公理二得P、Q、R三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩直線相交的證明，考查三點(diǎn)共線的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意平面的基本性質(zhì)及推論的合理運(yùn)用．