【題目】如題所示的平面圖形中,為矩形,,為線段的中點(diǎn),點(diǎn)是以為圓心,為直徑的半圓上任一點(diǎn)(不與重合),以為折痕,將半圓所在平面折起,使平面平面,如圖2,為線段的中點(diǎn).
(1)證明:.
(2)若銳二面角的大小為,求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)連,由已知可得,點(diǎn)在以為直徑的半圓上一點(diǎn),可得,
平面平面,,可證平面,得到,進(jìn)而可證平面,從而有平面,即可證明結(jié)論;
(2)平面,得為二面角的平面角,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),以及平面法向量坐標(biāo),由(1)得平面的法向量為,由空間向量的面面角公式,即可求解.
(1)連,分別為線段的中點(diǎn),,
點(diǎn)在以為直徑的半圓上一點(diǎn),,
平面平面,平面平面,
,平面,平面,
平面平面,
平面,平面,
平面,;
(2)平面,
為二面角的平面角,
,
過(guò)點(diǎn)做,
過(guò)點(diǎn)在平面做的垂線,交于,
則平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)與平行的直線,
所在的直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
,
,
設(shè)平面的法向量為,
,即,令,則,
,由(1)得平面法向量為,
,
所以二面角的正弦值為.
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【題目】若不等式(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))對(duì)成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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【題目】某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知制造一件甲產(chǎn)品需要種元件5個(gè),種元件2個(gè),制造一件乙種產(chǎn)品需要種元件3個(gè),種元件3個(gè),現(xiàn)在只有種元件180個(gè),種元件135個(gè),每件甲產(chǎn)品可獲利潤(rùn)20元,每件乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)15元,試問(wèn)在這種條件下,應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃才能得到最大利潤(rùn)?
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【題目】已知函數(shù).
(1)求證:當(dāng)時(shí),在上存在最小值;
(2)若是的零點(diǎn)且當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)寫(xiě)出直線及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線與曲線交于,兩點(diǎn),若,求點(diǎn)的軌跡及其直角坐標(biāo)方程.
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【題目】已知函數(shù)且a≠1,函數(shù).
(1)判斷并證明f(x)和g(x)的奇偶性;
(2)求g(x)的值域;
(3)若x∈R,都有|f(x)|≥|g(x)|成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】已知f(x)=|2x﹣1|﹣|2x+1|.
(1)求不等式f(x)>1的解集.
(2)當(dāng)時(shí),求證:4x2+4x+2>(2x+1)f(x).
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