Question

設(shè)f（x）=(a-1)x2+

a

x

(x≠0，a為常數(shù))．
（Ⅰ）討論f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）當(dāng)a=2，求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）討論a，當(dāng)a=0，a=1時以及當(dāng)a≠0且a≠1時根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判定即可；
（Ⅱ當(dāng)a=2，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0求出方程的解，根據(jù)解將區(qū)間分成幾段，然后判定每一段的導(dǎo)數(shù)符號，最后根據(jù)極值的判定方法進(jìn)行判定即可，從而求出極值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=-x²為偶函數(shù)當(dāng)a=1時，f(x)=

1

x

為奇函數(shù)
當(dāng)a≠0且a≠1時，∵f（-1）=-1，f（2）=2a-1．f（-1）+f（1）=2（a-1）≠0
∴f（x）不是奇函數(shù)f（-1）-f（1）=-2a≠0∴f（x）不是奇函數(shù)
故此時f（x）非奇非偶．
（Ⅱ）a=2時，f(x)=x2+

2

x

f′(x)=2x-

2

x2

=

2(x-1)(x2+x+1)

x2

，由f′(x)=0得x=1
列表如下：

x	（-∞，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	-	0	+
f（x）	↘	↘	極小值 f（1）=3	↗

故f（x）=x2+

2

x

有極小值3．

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判定，以及導(dǎo)函數(shù)計算和極值的判定，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．