Question

已知函數(shù)f（x），（x∈D），若同時(shí)滿足以下條件：
①f（x）在D上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么稱f（x）（x∈D）為閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)f（x）=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)y=2x+lgx是不是閉函數(shù)？若是請找出區(qū)間[a，b]；若不是請說明理由；
（3）若y=k+是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵y=-x³在R上單減，所以區(qū)間[a，b]滿足
解得a=-1，b=1
（2）∵函數(shù)y=2x+lgx在（0，+∞）單調(diào)遞增
假設(shè)存在滿足條件的區(qū)間[a，b]，a＜b，則
即
∴l(xiāng)gx=-x在（0，+∞）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，但是結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，y=lgx與y=-x只有一個(gè)交點(diǎn)
故不存在滿足條件的區(qū)間[a，b]，函數(shù)y=2x+lgx是不是閉函數(shù)
（3）易知y=k+在[-2，+∞）上單調(diào)遞增．設(shè)滿足條件B的區(qū)間為[a，b]，則方程組
有解，方程x=k+至少有兩個(gè)不同的解
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有兩個(gè)都不小于k的不根．
∴得，即所求．
另解：（1）易知函數(shù)f（x）=-x³是減函數(shù)，則有，解得，
（2）∵函數(shù)y=2x+lgx在（0，+∞）單調(diào)遞增
假設(shè)存在滿足條件的區(qū)間[a，b]，a＜b，則
即
∴l(xiāng)gx=-x在（0，+∞）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，但是結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，y=lgx與y=-x只有一個(gè)根
所以，函數(shù)y=2x+lgx是不是閉函
（3）由函數(shù)f（x）=k+是閉函數(shù)，易知函數(shù)是增函數(shù)，則在區(qū)間[a，b]上函數(shù)的值域也是[a，b]，說明函數(shù)f（x）圖象與直線y=x有兩個(gè)不同交點(diǎn)，令k+，則有
k=x-=，（令t=），如圖
則直線若有兩個(gè)交點(diǎn)，則有k
分析：（1）由y=-x³在R上單減，可得，可求a，b
（2）由函數(shù)y=2x+lgx在（0，+∞）單調(diào)遞增可知即，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷
（3）易知y=k+在[-2，+∞）上單調(diào)遞增．設(shè)滿足條件B的區(qū)間為[a，b]，則方程組有解，方程x=k+至少有兩個(gè)不同的解，即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有兩個(gè)都不小于k的不根．結(jié)合二次方程的實(shí)根分布可求k的范圍
另解：（1）易知函數(shù)f（x）=-x³是減函數(shù)，則有，可求
（2）取特值說明即可，不是閉函數(shù)．
（3）由函數(shù)f（x）=k+是閉函數(shù)，易知函數(shù)是增函數(shù)，則在區(qū)間[a，b]上函數(shù)的值域也是[a，b]，說明函數(shù)f（x）圖象與直線y=x有兩個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的 圖象可求
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用，方程的解與函數(shù)的交點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用，綜合應(yīng)用了函數(shù)的知識及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想．