Question

已知拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），對(duì)應(yīng)于這個(gè)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為x=-.

（1）寫出拋物線C的方程；

（2）過F點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB重心G的軌跡方程；

（3）點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓（x-3）²+y²=2的切線，切點(diǎn)分別是M，N.當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，|MN|的值最��？求出|MN|的最小值.

Answer 1

（1）y²=2x.（2）y²= （3）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，±2）時(shí)，|MN|取最小值.

解析:

（1）拋物線方程為：y²=2x.           （4分）

（2）①當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為y=k(x-)，代入y²=2x，

得：k²x²-(k²+2)x+.

設(shè)A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，則x₁+x₂=，y₁+y₂=k(x₁+x₂-1)=.

設(shè)△AOB的重心為G（x，y）則，

消去k得y²=為所求，                                            （6分）

②當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，A（，1），B（，-1），                         （8分）

△AOB的重心G（，0）也滿足上述方程.

綜合①②得，所求的軌跡方程為y²=，                              （9分）

（3）設(shè)已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=，

根據(jù)圓的性質(zhì)有：|MN|=2.           （11分）

當(dāng)|PQ|²最小時(shí)，|MN|取最小值，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x₀，y₀)，則y=2x₀.

|PQ|²=（x₀-3）²+ y= x-4x₀+9=(x₀-2)²+5，

∴當(dāng)x₀=2，y₀=±2時(shí)，|PQ|²取最小值5，

故當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，±2）時(shí)，|MN|取最小值.             （14分）