Question

已知向量

u

=（x，y）與向量

v

=（y，2y-x）的對應(yīng)關(guān)系用

v

=f（

u

）表示．
（1）證明對任意的向量

a

、

b

及常數(shù)m、n，恒有f（m

a

+n

b

）=mf（

a

）+nf（

b

）成立；
（2）設(shè)

a

=（1，1），

b

=（1，0），求向量f（

a

）與f（

b

）的坐標(biāo)；
（3）求使f（

c

）=（p，q）（p、q為常數(shù)）的向量

c

的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用新定義的向量之間的關(guān)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示的運(yùn)算法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)出兩個向量的坐標(biāo)，通過坐標(biāo)運(yùn)算證明二者的相等；
（2）根據(jù)兩個向量之間的關(guān)系依據(jù)題目所給的映射關(guān)系寫出所求的向量坐標(biāo)；
（3）利用方程思想設(shè)出所求向量的坐標(biāo)，通過建立未知數(shù)的方程達(dá)到求向量坐標(biāo)的目的．

解答：解：（1）設(shè)

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），
∴m

a

+n

b

=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂），
f（m

a

+n

b

）=（my₁+ny₂，2（my₁+ny₂）-（mx₁+nx₂））．
又mf（

a

）=m（y₁，2y₁-x₁），nf（

b

）=n（y₂，2y₂-x₂），
∴mf（

a

）+nf（

b

）=（my₁+ny₂，（2y₁-x₁）m+（2y₂-x₂）n）
=（my₁+ny₂，2（my₁+ny₂）-（mx₁+nx₂））．
∴f（m

a

+n

b

）=mf（

a

）+nf（

b

）成立．
（2）

a

=（1，1），∴f（

a

）=（1，2×1-1）=（1，1）；

b

=（1，0），∴f（

b

）=（0，2×0-1）=（0，-1）．
（3）設(shè)

c

=（x，y），∴f（

c

）=（y，2y-x）．
∴（y，2y-x）=（p，q）．
∴

y=p 2y-x=q.

∴

c

=（2p-q，p）．

點(diǎn)評：本題考查新定義的問題的求解，關(guān)鍵要讀懂向量通過該映射下的坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間的關(guān)系，考查二維的運(yùn)算問題，考查方程思想，考查學(xué)生對新知識的即興理解能力．