記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,x0)為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f(x)圖象上的不動點(diǎn).
(1)若函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn),求實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件;
(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
.在(1)的條件下,若a=8,記函數(shù)f(x)圖象上的兩個不動點(diǎn)分別為A1,A2,P為函數(shù)f(x)圖象上的另一點(diǎn),其縱坐標(biāo)yP>3,求點(diǎn)P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖象上存在有限個不動點(diǎn),則不動點(diǎn)有奇數(shù)個”是否正確?若正確,請給予證明;若不正確,請舉一反例.若地方不夠,可答在試卷的反面.
分析:(1)由函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn),即x2+(b-3)x-a=0有兩個互為相反的根,根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求a,b的關(guān)系
(2)若a=8,b=3可得f(x)=
3x+8
x+3
=x可求A1A2所在 的直線方程為x-y=0,設(shè)P(x,y)則由y=
3x+8
x+3
>3可得x<-3,點(diǎn)P到直線A1A2的距離d=
|x-y|
2
=|
x2-8
x+3
|
×
1
2
=
|x+3+
1
x+3
-6|
2
(x<-3)=-(x+3)+
1
-(x+3)
+6
,利用基本不等式可求d的最小值及取得最小值的P
(3)令g(x)=f(x)-x則由f(x)為奇函數(shù)可得g(x)為奇函數(shù),由奇函數(shù)的性質(zhì)可得g(0)=0,當(dāng)x≠0時,若g(x)=0,則g(-x)=-g(x)=0,從而可得g(x)=0的零點(diǎn)有奇數(shù)個即f(x)=x的根有奇數(shù)個
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn),
∴f(x)=x有兩個互為相反數(shù)的根
即x2+(b-3)x-a=0有兩個互為相反的根
b-3=0
-a<0

∴b=3,a>0
(2)若a=8,b=3則可得f(x)=
3x+8
x+3
=x
x=±2
2
A1(2
2
,2
2
)
,A2(-2
2
,-2
2
)

∴A1A2所在 的直線方程為x-y=0
設(shè)P(x,y)則由y=
3x+8
x+3
>3可得x<-3
點(diǎn)P到直線A1A2的距離d=
|x-y|
2
=|
x2-8
x+3
|
×
1
2
=
|x+3+
1
x+3
-6|
2
(x<-3)
=
1
2
[-(x+3)+
1
-(x+3)
+6
]
2
-(x+3)•
-1
x+3
+6
2
=4
2

dmin=4
2
,此時x+3=
1
x+3
即x=-4,P(-4,4)
(3)令g(x)=f(x)-x則由f(x)為奇函數(shù)可得g(x)為奇函數(shù)
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得g(0)=0
當(dāng)x≠0時,若g(x)=0,則g(-x)=-g(x)=0
∴g(x)=0的零點(diǎn)有奇數(shù)個即f(x)=x的根有奇數(shù)個
若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖象上存在有限個不動點(diǎn),則不動點(diǎn)有奇數(shù)個為真命題
點(diǎn)評:本題以新定義為切入點(diǎn),主要考查了方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用,點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,及基本不等式在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用及條件的配湊,及奇函數(shù)性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)f(x)的圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.
(1)若函數(shù)f(x)=
3x-1x+a
的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點(diǎn)”,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個“穩(wěn)定點(diǎn)”,求證:f(x)必有奇數(shù)個“穩(wěn)定點(diǎn)”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,x0)為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f(x)圖象上的不動點(diǎn).
(1)若函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn),求實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件;
(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
.在(1)的條件下,若a=8,記函數(shù)f(x)圖象上的兩個不動點(diǎn)分別為A1,A2,P為函數(shù)f(x)圖象上的另一點(diǎn),其縱坐標(biāo)yP>3,求點(diǎn)P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖象上存在有限個不動點(diǎn),則不動點(diǎn)有奇數(shù)個”是否正確?若正確,請給予證明;若不正確,請舉一反例.若地方不夠,可答在試卷的反面.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使得f(x)=x成立,則稱(x0,x0)為函數(shù)f(x)圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.

(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點(diǎn)?若存在,求出范圍;若不存在,請說明理由.

(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求證:函數(shù)必有奇數(shù)個穩(wěn)定點(diǎn).

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(1)若函數(shù)的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點(diǎn)”,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個“穩(wěn)定點(diǎn)”,求證:f(x)必有奇數(shù)個“穩(wěn)定點(diǎn)”.

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