Question

已知F是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且線段PF與圓(x-

c

3

)2+y2=

b2

9

（其中c²=a²-b²）相切于點(diǎn)Q，且

PQ

=2

QF

，則橢圓C的離心率等于（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  2

  3

• C．

  2

  2

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，確定PF₁⊥PF，，|PF₁|=b，|PF|=2a-b，即可求得橢圓的離心率．

解答：解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，連接F₁，設(shè)圓心為C，則
∵(x-

c

3

)2+y2=

b2

9

∴圓心坐標(biāo)為(

c

3

，0)，半徑為r=

b

3

∴|F₁F|=3|FC|
∵

PQ

=2

QF

，
∴PF₁∥QC，|PF₁|=b
∴|PF|=2a-b
∵線段PF與圓(x-

c

3

)2+y2=

b2

9

（其中c²=a²-b²）相切于點(diǎn)Q，
∴CQ⊥PF
∴PF₁⊥PF
∴b²+（2a-b）²=4c²
∴b²+（2a-b）²=4（a²-b²）
∴a=

3

2

b
∴c=

a2-b2

 =

5

2

b
∴e=

c

a

=

5

3

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，確定幾何量的關(guān)系是關(guān)鍵．