Question

已知等軸雙曲線C的兩個焦點F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點是坐標原點，且雙曲線經過點（3，

3

2

）．
（1）若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=

27

4

；②xy=9；③xy=

9

2

．請確定哪個是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實軸長；
（2）現要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉運貨物．經測算，從P到A、從P到B修建公路的費用都是每單位長度a萬元，則碼頭應建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低？
（3）如圖，函數y=

3

3

x+

1

x

的圖象也是雙曲線，請嘗試研究此雙曲線的性質，你能得到哪些結論？（本小題將按所得到的雙曲線性質的數量和質量酌情給分）

Answer 1

分析：（1）判斷3個方程中哪一個是等軸雙曲線C的方程，依題意，其兩個焦點F₁、F₂在直線y=x上，可以排除①；且雙曲線經過點（3，

3

2

）．可排除②；計算可以確定③符合，進而聯立方程

xy= 9 2 y=x

，解得雙曲線xy=

9

2

的兩頂點坐標，即可得答案．
（2）根據題意，分析可將問題轉化為在雙曲線xy=

9

2

求一點P，使|PA|+|PB|最小，分析易得P位于第一象限，設雙曲線的另一個焦點為F₂其坐標為（-3，-3），由雙曲線的定義可得PA|+|PB|=（|PF₂|-6+|PB|），要求|PA|+|PB|的最小值，只需求|PF₂|+|PB|的最小值，結合直線BF₂的方程，易得答案．
（3）類比雙曲線的有關性質，分別求函數y=

3

3

x+

1

x

的圖象的對稱性等性質，分析出有關性質即可．

解答：解：（1）雙曲線x2 -y2=

27

4

的焦點在x軸上，所以①不是雙曲線c的方程
雙曲線xy=9不經過點(3，

3

2

)，所以②不是雙曲線C的方程
所以③xy=

9

2

是等軸雙曲線C的方程
等軸雙曲線xy=

9

2

的焦點F₁、F₂在直線y=x上，
所以雙曲線的頂點也在直線y=x上，
聯立方程

xy= 9 2 y=x

，
解得雙曲線xy=

9

2

的兩頂點坐標為（

3 2

2

，

3 2

2

）（-

3 2

2

，-

3 2

2

），
所以雙曲線xy=

9

2

的實軸長為6
（2）所求問題即為：在雙曲線xy=

9

2

求一點P，使|PA|+|PB|最�。�
首先，點P應該選擇在等軸雙曲線的xy=

9

2

中第一象限的那一支上
等軸雙曲線的xy=

9

2

的長軸長為6，所以其焦距為6

2

又因為雙曲線的兩個焦點F₁、F₂在直線y=x上，
線段F₁F₂的中點是原點，所以A（3，3）是xy=

9

2

的一個焦點，
設雙曲線的另一個焦點為F₂（-3，-3），
由雙曲線的定義知：|PA|=|PF₂|-6
所以|PA|+|PB|=（|PF₂|-6+|PB|），
要求|PA|+|PB|的最小值，只需求|PF₂|+|PB|的最小值
直線BF₂的方程為3x-4y-3=0，
所以直線BF₂與雙曲線xy=

9

2

在第一象限的交點為(3，

3

2

)
所以碼頭應在建點P(3，

3

2

)處，才能使修建兩條公路的總費用最低
（3）①f(-x)=

3

3

(-x)+

1

-x

=-(

3

3

x+

1

x

)=-f(x)，
此雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是原點（0，0）；
②漸近線是y=

3

3

x和x=0．當x＞0時，
當x無限增大時，

1

x

無限趨近于0，
y=

3

3

x+

1

x

與y=

3

3

x無限趨近；
當y無限增大時，x無限趨近于0．
③雙曲線的對稱軸是y=

3

x和y=-

3

3

x．
④實軸在直線y=

3

x上，實軸長為2

4	12

虛軸在直線y= -

3

3

x，虛軸長為2

4	4 3

⑤焦點坐標為（(

4	4 3

，

4	12

)，(-

4	4 3

，-

4	12

)），焦距2

4	64 3

．

點評：本題難度較大，涉及雙曲線的變形應用，解題時應緊扣雙曲線的定義，找準焦點、頂點、實軸、虛軸的位置．