Question

已知等軸雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，

3

2

）．
（1）若已知下列所給的三個(gè)方程中有一個(gè)是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=

27

4

；②xy=9；③xy=

9

2

．請(qǐng)確定哪個(gè)是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)；
（2）現(xiàn)要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從P到A、從P到B修建公路的費(fèi)用都是每單位長(zhǎng)度a萬(wàn)元，則碼頭應(yīng)建在何處，才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低？
（3）如圖，函數(shù)y=

3

3

x+

1

x

的圖象也是雙曲線，請(qǐng)嘗試研究此雙曲線的性質(zhì)，你能得到哪些結(jié)論？（本小題將按所得到的雙曲線性質(zhì)的數(shù)量和質(zhì)量酌情給分）

Answer 1

分析：（1）判斷3個(gè)方程中哪一個(gè)是等軸雙曲線C的方程，依題意，其兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂在直線y=x上，可以排除①；且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，

3

2

）．可排除②；計(jì)算可以確定③符合，進(jìn)而聯(lián)立方程

xy= 9 2 y=x

，解得雙曲線xy=

9

2

的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得答案．
（2）根據(jù)題意，分析可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在雙曲線xy=

9

2

求一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最小，分析易得P位于第一象限，設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₂其坐標(biāo)為（-3，-3），由雙曲線的定義可得PA|+|PB|=（|PF₂|-6+|PB|），要求|PA|+|PB|的最小值，只需求|PF₂|+|PB|的最小值，結(jié)合直線BF₂的方程，易得答案．
（3）類比雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，分別求函數(shù)y=

3

3

x+

1

x

的圖象的對(duì)稱性等性質(zhì)，分析出有關(guān)性質(zhì)即可．

解答：解：（1）雙曲線x2 -y2=

27

4

的焦點(diǎn)在x軸上，所以①不是雙曲線c的方程
雙曲線xy=9不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，

3

2

)，所以②不是雙曲線C的方程
所以③xy=

9

2

是等軸雙曲線C的方程
等軸雙曲線xy=

9

2

的焦點(diǎn)F₁、F₂在直線y=x上，
所以雙曲線的頂點(diǎn)也在直線y=x上，
聯(lián)立方程

xy= 9 2 y=x

，
解得雙曲線xy=

9

2

的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3 2

2

，

3 2

2

）（-

3 2

2

，-

3 2

2

），
所以雙曲線xy=

9

2

的實(shí)軸長(zhǎng)為6
（2）所求問(wèn)題即為：在雙曲線xy=

9

2

求一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最�。�
首先，點(diǎn)P應(yīng)該選擇在等軸雙曲線的xy=

9

2

中第一象限的那一支上
等軸雙曲線的xy=

9

2

的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，所以其焦距為6

2

又因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂在直線y=x上，
線段F₁F₂的中點(diǎn)是原點(diǎn)，所以A（3，3）是xy=

9

2

的一個(gè)焦點(diǎn)，
設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（-3，-3），
由雙曲線的定義知：|PA|=|PF₂|-6
所以|PA|+|PB|=（|PF₂|-6+|PB|），
要求|PA|+|PB|的最小值，只需求|PF₂|+|PB|的最小值
直線BF₂的方程為3x-4y-3=0，
所以直線BF₂與雙曲線xy=

9

2

在第一象限的交點(diǎn)為(3，

3

2

)
所以碼頭應(yīng)在建點(diǎn)P(3，

3

2

)處，才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低
（3）①f(-x)=

3

3

(-x)+

1

-x

=-(

3

3

x+

1

x

)=-f(x)，
此雙曲線是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)（0，0）；
②漸近線是y=

3

3

x和x=0．當(dāng)x＞0時(shí)，
當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，

1

x

無(wú)限趨近于0，
y=

3

3

x+

1

x

與y=

3

3

x無(wú)限趨近；
當(dāng)y無(wú)限增大時(shí)，x無(wú)限趨近于0．
③雙曲線的對(duì)稱軸是y=

3

x和y=-

3

3

x．
④實(shí)軸在直線y=

3

x上，實(shí)軸長(zhǎng)為2

4	12

虛軸在直線y= -

3

3

x，虛軸長(zhǎng)為2

4	4 3

⑤焦點(diǎn)坐標(biāo)為（(

4	4 3

，

4	12

)，(-

4	4 3

，-

4	12

)），焦距2

4	64 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，涉及雙曲線的變形應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)緊扣雙曲線的定義，找準(zhǔn)焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸的位置．