Question

已知f（x）=acos（2x-

π

3

）+b（a，b為常數(shù)，a，b∈R）的定義域?yàn)閇0，

π

2

]，值域?yàn)閇

1

2

，5]．
（1）求a，b值；
（2）若f（x）在[0，

π

6

]上遞增，設(shè)g（x）=asin（bx-

π

4

），x∈R，畫(huà)出函數(shù)g（x）在一周期上圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系確定，a，b的值．
（2）利用f（x）在[0，

π

6

]上遞增，確定a，b的值，然后利用五點(diǎn)法或函數(shù)的平移關(guān)系畫(huà)出函數(shù)g（x）在一周期上圖象即可．

解答：解：（1）由x∈[0，

π

2

]，得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴cos(2x-

π

3

)∈[-

1

2

，1]   由題意a=0，不合適．
當(dāng)a＞0時(shí)，fmax(x)=a+b，fmin(x)=-

1

2

a+b，即

a+b=5 - 1 2 a+b= 1 2

，解得a=3，b=2．
當(dāng)a＜0時(shí)，fmin(x)=a+b，fmax(x)=-

1

2

a+b，即

a+b= 1 2 - 1 2 a+b=5

，解得a=-3，b=

7

2

，
綜合得a=3，b=2或a=-3，b=

7

2

．…（8分）
（2）由f（x）在[0，

π

6

]上遞增，
∴a=3，b=2，
∴g（x）=3sin（2x-

π

4

），
五點(diǎn)法作出g（x）一個(gè)周期圖象如圖：…（12分）
g（x）單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z，
減區(qū)間為[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z   …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．