Question

9．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的兩條漸近線分別為l₁，l₂，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂ 于 A，B 兩點(diǎn)．若|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{OB}$|成等差數(shù)列，且$\overrightarrow{BF}$與$\overrightarrow{FA}$反向，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，令∠AOF=α，則由題意知tanα=$\frac{a}$，△AOB中，∠AOB=180°-2α，tan∠AOB=-tan2α=$\frac{AB}{OA}$，由此推導(dǎo)出-tan2α=-$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{3}$，從而能求出離心率．

解答 解：如圖，設(shè)實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，
令∠AOF=α，則由題意知tanα=$\frac{a}$，
△AOB中，∠AOB=180°-2α，tan∠AOB=-tan2α
=$\frac{AB}{OA}$，
∵|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{OB}$|成等差數(shù)列，
∴設(shè)|$\overrightarrow{OA}$|=m-d、|$\overrightarrow{AB}$|=m、|$\overrightarrow{OB}$|=m+d，
∵OA⊥BF，∴（m-d）²+m²=（m+d）²，
整理，得d=$\frac{1}{4}$m，
∴-tan2α=-$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{3}$
解得$\frac{a}$=2或$\frac{a}$=-$\frac{1}{2}$（舍），
∴b=2a，c=$\sqrt{5}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．