Question

【題目】已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．
（1）判斷f（x）=3x+2是否屬于集合M，并說明理由；
（2）若 屬于集合M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）=2x+bx2 ， 求證：對任意實(shí)數(shù)b，都有f（x）∈M．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)f（x）=3x+2時(shí)，方程f（t+2）=f（t）+f（2）3t+8=3t+10

此方程無解，所以不存在實(shí)數(shù)t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），

故f（x）=3x+2不屬于集合M

（2）解：由 屬于集合M，可得

方程 有實(shí)解a[（x+2）2+2]=6（x2+2）有實(shí)解（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有實(shí)解，

若a=6時(shí)，上述方程有實(shí)解；

若a≠6時(shí)，有△=16a2﹣24（a﹣6）（a﹣2）≥0，解得 ，

故所求a的取值范圍是

（3）解：當(dāng)f（x）=2x+bx2時(shí)，方程f（x+2）=f（x）+f（2）2x+2+b（x+2）2=2x+bx2+4+4b3×2x+4bx﹣4=0，

令g（x）=3×2x+4bx﹣4，則g（x）在R上的圖象是連續(xù)的，

當(dāng)b≥0時(shí)，g（0）=﹣1＜0，g（1）=2+4b＞0，故g（x）在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)b＜0時(shí)，g（0）=﹣1＜0， ，故g（x）在 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；故對任意的實(shí)數(shù)b，g（x）在R上都有零點(diǎn)，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）總有解，所以對任意實(shí)數(shù)b，都有f（x）∈M

【解析】（1）利用f（x）=3x+2，通過f（t+2）=f（t）+f（2）推出方程無解，說明f（x）=3x+2不屬于集合M．（2）由 屬于集合M，推出 有實(shí)解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有實(shí)解，若a=6時(shí)，若a≠6時(shí)，利用判斷式求解即可．（3）當(dāng)f（x）=2x+bx2時(shí)，方程f（x+2）=f（x）+f（2）3×2x+4bx﹣4=0，令g（x）=3×2x+4bx﹣4，則g（x）在R上的圖象是連續(xù)的，當(dāng)b≥0時(shí)，當(dāng)b＜0時(shí)，判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，證明對任意實(shí)數(shù)b，都有f（x）∈M．