Question

已知函數(shù)f（x）=x+log₂

x

3-x

．
（1）計算s=

∫

2 1

f（x）dx；
（2）設(shè)S（n）=

3(2n-1)

2n+1

（n∈N₊），用數(shù)學(xué)歸納法證明：S（n）-S=-

3

2n+1

．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,定積分

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）直接利用定積分的性質(zhì)化簡s=

∫

2 1

f（x）dx利用對稱性，求解即可．
（2）直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，通過驗證n=1，假設(shè)n=k成立，證明n=k+1時不等式也成立即可．

解答： 解：（1）由定積分的性質(zhì)得：s=

∫

2 1

f(x)dx=

∫

2 1

(x+log2

x

3-x

)dx=

∫

2 1

xdx+

∫

2 1

log2xdx-

∫

2 1

log2(3-x)dx…（2分）
由于函數(shù)y=log₂x與y=log₂（3-x）在區(qū)間[1，2]上的圖象關(guān)于直線x=

3

2

對稱，
故根據(jù)定積分的幾何意義知：

∫

2 1

log₂xdx-

∫

2 1

log₂（3-x）dx=0，
而

∫

2 1

xdx=

3

2

3(2k+1-1)

2k+2

-

3

2

=

3(2×2k-1)

2×2k+1

-

3

2

=

3(2×2k-2+1)

2×2k+1

-

3

2

，
則S=

3

2

．…（6分）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：S（n）-S=-

3

2n+1

，即證：

3(2n-1)

2n+1

-

3

2

=-

3

2n+1

①當(dāng)n=1時，左邊=-

3

4

，右邊=-

3

22

，所以等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥1，k∈N₊）等式成立，即

3(2k -1)

2k+1

-

3

2

=-

3

2k+1

成立，
那么當(dāng)n=k+1時，左邊═

3(2×2k-2)

2×2k+1

+

3

2×2k+1

-

3

2

=

3×2(2k-1)

2×2k+1

-

3

2

+

3

2×2k+1

=-

3

2k+1

+

3

2×2k+1

=-

3

2×2k+1

=-

3

2k+1+1

．
這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式成立．
根據(jù)①②可知，等式對任意的n∈N₊都成立．…（12分）

點評：本題考查定積分的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，注意證明過程的嚴(yán)禁性，考查邏輯推理能力．