Question

已知不等式mx²-2x-m+1＜0．
（1）若對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求m的取值范圍；
（2）設(shè)不等式對(duì)于滿(mǎn)足|m|≤2的一切m 的值都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m=0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不滿(mǎn)足條件；解得m≠0時(shí)，設(shè)f（x）=mx²-2x-m+1，則由題意可得有

m＜0 4-4m(1-m)＜0

，解得 m∈∅．綜合可得結(jié)論．
（2）由題意-2≤m≤2，設(shè)g（m）=（x²-1）m+（1-2x），則由題意可得

g(-2)＜0 g(2)＜0

，由此求得x 的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，1-2x＜0，即當(dāng)x＞

1

2

時(shí)不等式恒成立，不滿(mǎn)足條件．…（2分）
解得m≠0時(shí)，設(shè)f（x）=mx²-2x-m+1，由于f（x）＜0恒成立，則有

m＜0 4-4m(1-m)＜0

，解得 m∈∅．
綜上可知，不存在這樣的m使不等式恒成立．…（6分）
（2）由題意-2≤m≤2，設(shè)g（m）=（x²-1）m+（1-2x），則有

g(-2)＜0 g(2)＜0

，
即

-2x2-2x+3＜0 2x2-2x-1＜0

，解之得

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

，
所以x的取值范圍為{x|

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

}． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了分類(lèi)討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．