Question

設(shè)f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a），其中a＞0且a≠1．
（1）已知f（4a）=1，求a的值；
（2）若在區(qū)間[a+3，a+4]上f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將x=4a代入f（x）中，列出等式，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡求值，即可求出a的值；
（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡函數(shù)f（x）=loga[(x-

5a

2

)2-

a2

4

]，求出函數(shù)的定義域，判斷出內(nèi)函數(shù)g（x）=(x-

5a

2

)2-

a2

4

在[a+3，a+4]上單調(diào)遞增，將函數(shù)在區(qū)間[a+3，a+4]上f（x）≤1恒成立，轉(zhuǎn)化為f（x）_max≤1，再對底數(shù)a進行分類討論，分別求出f（x）_max，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a），
∴f（4a）=log_a2a+log_aa=1，
∴l(xiāng)og_a2a=0，即2a=1，
∴a=

1

2

．
（2）f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）=log_a（x²-5ax+6a²）=loga[(x-

5a

2

)2-

a2

4

]，
根據(jù)題意可知，

x-2a＞0 x-3a＞0

，解得，x＞3a，
∴a+3＞3a，即a＜

3

2

，
∴（a+3）-

5a

2

=

3

2

(a-2)＞0，
∴g（x）=(x-

5a

2

)2-

a2

4

在區(qū)間[a+3，a+4]上單調(diào)遞增．
①若0＜a＜1，則f（x）在區(qū)間[a+3，a+4]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在區(qū)間[a+3，a+4]上的最大值為f（a+3）=log_a（2a²-9a+9），
∵不等式f（x）≤1在x∈[a+3，a+4]恒成立，等價于f（x）_max≤1，即log_a（2a²-9a+9）≤1，
∴2a²-9a+9≥a，解得a≥

5+ 7

2

或a≤

5- 7

2

，
又∵0＜a＜1，
∴0＜a＜1．
②若1＜a＜

3

2

，則f（x）在區(qū)間[a+3，a+4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[a+3，a+4]上的最大值為f（a+4）=log_a（2a²-12a+16），
∵不等式f（x）≤1在x∈[a+3，a+4]恒成立，等價于f（x）_max≤1，即log_a（2a²-12a+16）≤1，
∴2a²-12a+16≤a，即2a²-13a+16≤0，解得

13- 41

4

≤a≤

13- 41

4

，
∵1＜a＜

3

2

且

13- 41

4

＞

3

2

，
∴a∈∅．
綜合①②，a的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查了對數(shù)的運算，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的恒成立問題．對于函數(shù)恒成立問題，如果能參變量分離的一般選用參變量分離的方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值進行求解，否則直接運用函數(shù)的最值求解．對于對數(shù)的底數(shù)是參數(shù)的話，一般要對其進行分類討論進行求解，運用分類討論的數(shù)學思想方法．屬于中檔題．