Question

【題目】已知是函數(shù)的切線，則的最小值為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)切線的坐標(biāo)為（m，lnm+m），求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化簡得到lnm1，設(shè)g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案．

根據(jù)題意，直線y＝kx+b與函數(shù)f（x）＝lnx+x相切，設(shè)切點(diǎn)為（m，lnm+m），

函數(shù)f（x）＝lnx+x，其導(dǎo)數(shù)f′（x）1，則f′（m）1，

則切線的方程為：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），變形可得y＝（1）x+lnm﹣1，

又由切線的方程為y＝kx+b，

則k1，b＝lnm﹣1，

則2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，

設(shè)g（m）＝lnm1，其導(dǎo)數(shù)g′（m），

在區(qū)間（0，2）上，g′（m）＜0，則g（m）＝lnm1為減函數(shù)，

在（2，+∞）上，g′（m）＞0，則g（m）＝lnm1為增函數(shù)，

則g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值為ln2+2；

故答案為：ln2+2．