(2013•東城區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率e=
3
2
,原點到過點A(a,0),B(0,b)的直線的距離是
4
5
5

(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C上一動點P(x0,y0)關(guān)于直線y=2x的對稱點為P1(x1,y1),求x12+y12的取值范圍.
(3)如果直線y=kx+1(k≠0)交橢圓C于不同的兩點E,F(xiàn),且E,F(xiàn)都在以B為圓心的圓上,求k的值.
分析:(1)利用橢圓的離心率e=
c
a
,a2=b2+c2,及其點到直線的距離公式即可得到a,b;
(2)利用軸對稱即可得到點P(x0,y0)與其對稱點P1(x1,y1)的坐標之間的關(guān)系,再利用點P(x0,y0)滿足橢圓C的方程:
x2
16
+
y2
4
=1
得到關(guān)系式,進而即可求出;
(3)設(shè)E(x2,y2),F(xiàn)(x3,y3),EF的中點是M(xM,yM),則BM⊥EF得到關(guān)系式,把直線EF的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系即可.
解答:解:(1)∵e=
c
a
=
3
2
,a2=b2+c2,
∴a=2b.
∵原點到直線AB:
x
a
-
y
b
=1
的距離d=
ab
a2+b2
=
4
5
5

解得a=4,b=2.
故所求橢圓C的方程為
x2
16
+
y2
4
=1

(2)∵點P(x0,y0)關(guān)于直線y=2x的對稱點為點P1(x1,y1),
y0-y1
x0-x1
×2=-1
y0+y1
2
=2×
x0+x1
2

解得 x1=
4y0-3x0
5
,y1=
3y0+4x0
5

x
2
1
+
y
2
1
=
x
2
0
+
y
2
0

∵點P(x0,y0)在橢圓C:
x2
16
+
y2
4
=1
上,
x
2
1
+
y
2
1
=
x
2
0
+
y
2
0
=4+
3
4
x
2
0

∵-4≤x0≤4,∴4≤
x
2
1
+
y
2
1
≤16

x
2
1
+
y
2
1
的取值范圍為[4,16].
(3)由題意
y=kx+1
x2+4y2=16
消去y,整理得(1+4k2)x2+8kx-12=0.
可知△>0.
設(shè)E(x2,y2),F(xiàn)(x3,y3),EF的中點是M(xM,yM),
x2+x3=-
8k
1+4k2
,
xM=
x2+x3
2
=-
4k
1+4k2
,yM=kxM+1=
1
1+4k2

kBM=
yM+2
xM
=-
1
k

∴xM+kyM+2k=0.
-4k
1+4k2
+
k
1+4k2
+2k=0

又∵k≠0,
k2=
1
8

k=±
2
4
點評:本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、點到直線的距離公式、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點坐標公式等知識與方法,熟悉解題模式是解題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+
a
x
(a>0).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的任意一點,若以P(x0,y0)為切點的切線的斜率k≤
1
2
恒成立,求實數(shù)a的最小值;
(3)討論關(guān)于x的方程f(x)=
x3+2(bx+a)
2x
-
1
2
的實根情況.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)二模)f(x)=
-
2
x
 ,   x<0
3+log2x ,  x>0
,則f(f(-1))等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)二模)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以斷定函數(shù)f(x)=lnx-
3
x
的零點所在的區(qū)間是( 。
x 1 2 e 3 5
lnx 0 0.69 1 1.10 1.61
3
x
3 1.5 1.10 1 0.6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)二模)對定義域的任意x,若有f(x)=-f(
1
x
)
的函數(shù),我們稱為滿足“翻負”變換的函數(shù),下列函數(shù):
y=x-
1
x
,
②y=logax+1,
y=
x,0<x<1
0,x=1
-
1
x
,x>1

其中滿足“翻負”變換的函數(shù)是
①③
①③
. (寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•東城區(qū)二模)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x∈(-∞,0)時,f(x)+xf′(x)<0(其中f′(x)是f(x)的導函數(shù)),若a=(30.3)•f(30.3),b=(logπ3)•f(logπ3),c=(log3
1
9
)•f(log3
1
9
),則a,b,c的大小關(guān)系是( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案