已知a,b,c是正常數(shù),且a,b,c互不相等,x,y,z∈(0,+∞),
(1)求證:
a2
x
+
b2
y
+
c2
z
(a+b+c)2
x+y+z
,并指出等號成立的條件;
(2)利用(1)的結(jié)論:
①求函數(shù)f(x)=
1
x
+
4
1-2x
+
25
1+x
(x∈(0,
1
2
))
的最小值,并求出相應(yīng)的x值;
②設(shè)a、b、c∈(0,1),求證:
a
1-bc2
+
b
1-ca2
+
c
1-ab2
a+b+c
1-abc
分析:(1)利用基本不等式,結(jié)合完全平方公式,可得結(jié)論;
(2)將函數(shù)變形,利用①的結(jié)論,即可求函數(shù)的最小值,及相應(yīng)的x值;
②將函數(shù)變形,利用①的結(jié)論,即可證得結(jié)論.
解答:(1)證明:∵x,y,z∈(0,+∞),a>0,b>0,c>0
(x+y+z)(
a2
x
+
b2
y
+
c2
z
)
=a2+b2+c2+
xb2
y
+
ya2
x
+
xc2
z
+
za2
x
+
yc2
z
+
zb2
y

≥a2+b2+c2+2ab+2ca+2cb=(a+b+c)2
(x+y+z)(
a2
x
+
b2
y
+
c2
z
)
≥(a+b+c)2
a2
x
+
b2
y
+
c2
z
(a+b+c)2
x+y+z

當(dāng)且僅當(dāng)
x
a
=
y
b
=
z
c
時,等號成立------------------(6分)
(2)解:①f(x)=
1
x
+
4
1-2x
+
25
1+x
=
12
x
+
22
1-2x
+
52
1+x
(1+2+5)2
x+1-2x+1+x
=
64
2
=32

∴f(x)的最小值是32,當(dāng)且僅當(dāng)
x
1
=
1-2x
2
=
1+x
5
,即x=
1
4
時取得------------(11分)
②證明:
a
1-bc2
+
b
1-ca2
+
c
1-ab2
=
a2
a-abc2
+
b2
b-bca2
+
c2
c-cab2
(a+b+c)2
a+b+c-(abc2+a2bc+ab2c)

=
(a+b+c)2
a+b+c-abc(c+a+b)
=
a+b+c
1-abc

a
1-bc2
+
b
1-ca2
+
c
1-ab2
a+b+c
1-abc
得證.---------------------------(16分)
點評:本題考查基本不等式的運用,考查不等式的證明,考查求函數(shù)的最值,屬于中檔題.
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A.

B.

C.

D.

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[  ]
A.

B.

C.

D.

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A、       B、      C、        D、

 

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