Question

已知函數(shù)f（x）=kxlnx，k∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)函數(shù)的最大值為時(shí)，求k的值．

Answer 1

解：（1）由題意知函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=k（1+lnx）；
當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=0，所以函數(shù)無(wú)單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)k＞0時(shí)，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，則x＞，所以函數(shù)f（x）在（0，]上單調(diào)遞減，在[，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)k＜0時(shí)，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，則0＜x＜，所以函數(shù)f（x）在（0，]上單調(diào)遞增，在[，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/529955.png' />，所以g′（x）=
令u（x）=lnx+x-xlnx，所以u(píng)′（x）=-lnx
∵x∈[e，3]，∴l(xiāng)nx≥1，，∴u′（x）＜0，即u（x）為減函數(shù)，可得u（x）_min=u（3）=3-3ln3=ln＞0
∴x∈[e，3]時(shí)，lnx+x-xlnx＞0
當(dāng)k＞0時(shí)，g′（x）＞0，可得g（x）在x∈[e，3]時(shí)為增函數(shù)，g（x）_max=g（3）=，所以k=；
當(dāng)k=0時(shí)，g（x）的最大值是0，不合題意；
當(dāng)k＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在x∈[e，3]上為減函數(shù)，g（x）的最大值是0，不合題意
故當(dāng)函數(shù)g（x）的最大值為時(shí)，k的值為．
分析：（1）確定函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求導(dǎo)函數(shù)g′（x）=，令u（x）=lnx+x-xlnx，求導(dǎo)函數(shù)u′（x）=-lnx，可得x∈[e，3]時(shí)，lnx+x-xlnx＞0，對(duì)k討論，利用函數(shù)g（x）的最大值為，即可求得k的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．