Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，EF∥BC，AE=x．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．
（1）G是BC上的一點，且BD⊥EG，若x=3，求三棱錐B-AEG的體積；
（2）當x取何值時，三棱錐D-BCF的體積是最大值，最大值是多少．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）運用面面垂直的性質定理，可得AE⊥面EBCF，作DH⊥EF于H，連BH，GH，證得EG⊥BH，再由解直角三角形求得BG，再由V_B-AEG=V_A-BEG運用體積公式，即可得到；
（2）由面面垂直性質定理證出AE⊥面EBCF，結合（1）知AE=DH，利用錐體體積公式可得V_F-BCD，利用二次函數(shù)的圖象與性質可得當x=2時，體積有最大值．

解答： 解：（1）∵AE⊥EF，面AEFD⊥面EBCF，面AEFD∩面EBCF=EF，
∴AE⊥面EBCF，
作DH⊥EF于H，連BH，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，DH⊥EF
∴DH⊥平面EBCF，即DH⊥EG，
由于BD⊥EG，則EG⊥平面BDH，EG⊥BH，
在直角三角形EBG中，tan∠EGB=

EB

BG

=

1

BG

，
在直角三角形EBH中，tan∠EHB=

EB

EH

=

1

2

，
由EG⊥BH，可得，tan∠EGB•tan∠EHB=1，即有BG=

1

2

．
則三棱錐B-AEG的體積為V_B-AEG=V_A-BEG
=

1

3

•AE•S_△BEG=

1

3

•3•

1

2

•1•

1

2

=

1

4

；
（2）∵AE⊥EF，面AEFD⊥面EBCF，面AEFD∩面EBCF=EF，
∴AE⊥面EBCF，
由（1）知DH⊥平面EBCF，可得AE∥DH，AE=DH，
∴V_D-BFC=

1

3

S_△BFC•DH
=

1

3

S_△BFC•DH
=

1

3

•

1

2

•4•(4-x)•x=-

2

3

（x-2）²+

8

3

≤

8

3

，
因此，當且僅當x=2時，f（x）有最大值為

8

3

．

點評：本題給出平面圖形的翻折問題，在所得幾何體中證明線線垂直并求三棱錐體積的最大值，著重考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質、錐體體積和二次函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．