Question

（2014•宿州三模）過雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F（﹣c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交拋物線y2=4cx于點(diǎn)P，若E為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C.+1 D.

Answer 1

D

【解析】

試題分析：雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），利用O為FF'的中點(diǎn)，E為FP的中點(diǎn)，可得OE為△PFF'的中位線，從而可求|PF|，再設(shè)P（x，y） 過點(diǎn)F作x軸的垂線，由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．

【解析】
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，則F'的坐標(biāo)為（c，0）

因?yàn)閽佄锞�為y2=4cx，所以F'為拋物線的焦點(diǎn)

因?yàn)镺為FF'的中點(diǎn)，E為FP的中點(diǎn)，所以O(shè)E為△PFF'的中位線，

屬于OE∥PF'

因?yàn)閨OE|=a，所以|PF'|=2a

又PF'⊥PF，|FF'|=2c 所以|PF|=2b

設(shè)P（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，

∴x=2a﹣c

過點(diǎn)F作x軸的垂線，點(diǎn)P到該垂線的距離為2a

由勾股定理 y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）

得e2﹣e﹣1=0，

∴e=．

故選D．