已知函數(shù)
.
(Ⅰ)若在
處的切線垂直于直線
,求該點(diǎn)的切線方程,并求此時函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對任意的
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(Ⅰ) ,
的單調(diào)遞增區(qū)間是
;單調(diào)遞減區(qū)間是
和
;
(Ⅱ) 或
.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)通過切線垂直直線可以得到切線的斜率,解出,將
代入求出切點(diǎn)坐標(biāo),從而求出切線方程,令
和
分別求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;(Ⅱ)通過對
的討論,求出
在
上的最大值,令
,解出
的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ) ,根據(jù)題意
,解得
,
此時切點(diǎn)坐標(biāo)是,故所求的切線方程是
,即
.
當(dāng)時,
,
令,解得
,令
,解得
且
,故函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是
;單調(diào)遞減區(qū)間是
和
.
5分
(Ⅱ) .
①若,則
在區(qū)間
上恒成立,
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值為
;
7分
②若,則在區(qū)間
上
,函數(shù)單調(diào)遞減,在區(qū)間
上
,函數(shù)單調(diào)遞增,故函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值為
,
中的較大者,
,故當(dāng)
時,函數(shù)的最大值為
,當(dāng)
時,函數(shù)的最大值為
;
9分
③當(dāng)時,
在區(qū)間
上恒成立,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,函數(shù)的最大值為
. 11分
綜上可知,在區(qū)間上,當(dāng)
時,函數(shù)
,當(dāng)
時,函數(shù)
.
不等式對任意的
恒成立等價于在區(qū)間
上,
,故當(dāng)
時,
,即
,解得
或
;當(dāng)
時,
,即
,解得
.
12分
綜合知當(dāng)或
時,不等式
對任意的
恒成立. 13分
考點(diǎn):1.用導(dǎo)數(shù)求切線方程;2.用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間;3.恒成立問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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π |
24 |
5π |
24 |
π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
11π |
6 |
| ||
2 |
3 |
π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
xn+2 | xn-2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
π |
2 |
A、f(x)=2sin(
| ||||
B、f(x)=2sin(
| ||||
C、f(x)=2sin(2x-
| ||||
D、f(x)=2sin(2x+
|
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