已知函數(shù) ．

(Ⅰ)若在處的切線垂直于直線，求該點(diǎn)的切線方程，并求此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

【答案】

(Ⅰ) ，的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是和；

(Ⅱ) 或.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)通過切線垂直直線可以得到切線的斜率，解出，將代入求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程，令和分別求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；(Ⅱ)通過對的討論，求出在上的最大值，令，解出的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ) ，根據(jù)題意，解得，

此時切點(diǎn)坐標(biāo)是，故所求的切線方程是，即.

當(dāng)時，，

令，解得，令，解得且，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是和．             5分

(Ⅱ) .

①若，則在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；                     7分

②若，則在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，中的較大者，，故當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為；                     9分

③當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為.                      11分

綜上可知，在區(qū)間上，當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù).

不等式對任意的恒成立等價于在區(qū)間上，，故當(dāng)時，，即，解得或；當(dāng)時，，即，解得.                  12分

綜合知當(dāng)或時，不等式對任意的恒成立．      13分

考點(diǎn)：1.用導(dǎo)數(shù)求切線方程；2.用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；3.恒成立問題.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-2x+c在x=-2時有極大值6，在x=1時有極小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，且f(
π
24
)=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期T和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-
5π
24
，
π
24
)，求θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個最低點(diǎn)(
11π
6
，-1)．
（Ⅰ）如果x=0時，y=-
3
2
，求a，b，c．
（Ⅱ）如果將圖象上每個點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的
3
π
，然后將所得圖象向左平移一個單位得到y(tǒng)=f（x）的圖象，并且方程f（x）=3的所有正根依次成為一個公差為3的等差數(shù)列，求y=f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4，設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1，0）（n∈N*），其中x1為正實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅱ）若x1=4，記an=lg
xn+2xn-2
，證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn-2，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明Tn＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（　�。�
A、f(x)=2sin(
1
2
x+
π
6
)
B、f(x)=2sin(
1
2
x-
π
6
)
C、f(x)=2sin(2x-
π
6
)
D、f(x)=2sin(2x+
π
6
)

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