Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1a_n-1=a_na _n-1+a_n²（n∈N，n≥2），且

an+1

an

=kn+1．
（1）求證：k=1；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{

anxn-1

(n-1)!

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由

an+1

an

=kn+1，a₁=1可得

a2

a1

=a2=k+1，再由a₁=1，a_n+1a_n-1=a_na _n-1+a_n²（n≥2）可得

a3

a2

=a2+1，可證k=1
（2）由

an+1

an

=n+1可得a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1，可求
（3）設(shè)

anxn-1

(n-1)!

=nxn-1的前n項(xiàng)和為 S_n，分類討論：x=1時(shí)，利用等差數(shù)列的求和公式可求；當(dāng)x≠1時(shí)，由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1可以利用錯(cuò)位相減求和即可

解答：證明：（1）∵

an+1

an

=kn+1，a₁=1
故

a2

a1

=a2=k+1
又因?yàn)閍₁=1，a_n+1a_n-1=a_na _n-1+a_n²（n≥2）
則a3a1=a1a2+a22，即

a3

a2

=a2+1
∵

a3

a2

=2k+1
∴a₂=2k
∴k+1=2k
∴k=1．…．（3分）
（2）∵

an+1

an

=n+1
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1=n（n-1）（n-2）…2•1=n!…．（6分）
（3）因?yàn)?span id="37ierwf" class="MathJye">

anxn-1

(n-1)!

=nxn-1，設(shè)其前n項(xiàng)和為 S_n，
當(dāng)x=1時(shí)，Sn=

n(n+1)

2

，…（8分）
當(dāng)x≠1時(shí)，Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1…（1）
xSn=x+2x2+3x3+…+(n-1)xn-1+nxn…（2）
由（1）-（2）得：(1-x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=

1-xn

1-x

-nxn
∴Sn=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

…..（11分）
綜上所述：Sn=

n(n+1) 2 ，x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ，x≠1

…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，疊乘法在數(shù)列的 通項(xiàng)公式求解中的應(yīng)用及錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用