Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A(－4，0)、B(4，0)，動(dòng)點(diǎn)P與A、B連線的斜率之積為－.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得的弦長為r.

(ⅰ)求圓M的方程；

(ⅱ)當(dāng)r變化時(shí)，是否存在定直線l與動(dòng)圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）＝1(x≠±4)（2）(ⅰ)＋(y－r－3)2＝r2.(ⅱ)y＝3和4x＋3y－9＝0與動(dòng)圓M均相切

【解析】(1)設(shè)P(x，y)，則直線PA、PB的斜率分別為k1＝、k2＝.

由題意知·＝－，即＝1(x≠±4)．

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是＝1(x≠±4)．

(2)(ⅰ)由題意C(0，－2)，A(－4，0)，

所以線段AC的垂直平分線方程為y＝2x＋3.

設(shè)M(a，2a＋3)(a＞0)，則圓M的方程為(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.

圓心M到y(tǒng)軸的距離d＝a，由r2＝d2＋，得a＝.

所以圓M的方程為＋(y－r－3)2＝r2.

(ⅱ)假設(shè)存在定直線l與動(dòng)圓M均相切．當(dāng)定直線的斜率不存在時(shí)，不合題意．

設(shè)直線l：y＝kx＋b，則＝r對(duì)任意r＞0恒成立．

由，得r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.

所以解得或

所以存在兩條直線y＝3和4x＋3y－9＝0與動(dòng)圓M均相切