【題目】已知兩動圓F1：（x+ ）2+y2=r2和F2：（x﹣ ）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4），把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線C，若曲線C與y軸的正半軸的交點(diǎn)為M，且曲線C上的相異兩點(diǎn)A，B滿足： =0．
（1）求曲線C的方程；
（2）證明直線AB恒經(jīng)過一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求△ABM面積S的最大值．

【答案】
（1）解：設(shè)兩動圓的公共點(diǎn)為Q，則有|QF1|+|QF2|=4（4＞|F1F2|）．

由橢圓的定義可知Q的軌跡為橢圓，a=2，c= ．b=1，

所以曲線C的方程是： =1


（2）解：證明：由題意可知：M（0，1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，易知滿足條件 =0的直線AB為：x=0，過定點(diǎn)N（0，﹣ ）．

當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=kx+m，聯(lián)立方程組有：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

x1+x2=﹣ ①，x1x2= ②，

因?yàn)? =0，所以有x1x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）=0，

把①②代入整理化簡得（m﹣1）（5m+3）=0，m=﹣ 或m=1（舍），

綜合斜率不存在的情況，直線AB恒過定點(diǎn)N（0，﹣ ）


（3）解：△ABM面積S=S△MNA+S△MNB= |MN||x1﹣x2|=

因N在橢圓內(nèi)部，所以k∈R，可設(shè)t= ≥2，

S= = ≤ = （k=0時(shí)取到最大值）．

所以△ABM面積S的最大值為


【解析】（1）設(shè)兩動圓的公共點(diǎn)為Q，則有|QF1|+|QF2|=4，運(yùn)用橢圓的定義，即可得到a，c，b，進(jìn)而得到Q的軌跡方程；（2）M（0，1），設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根據(jù)直線AB的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，根據(jù)條件，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理和直線恒過定點(diǎn)的求法，即可得到定點(diǎn)；（3）△ABM面積S=S△MNA+S△MNB= |MN||x1﹣x2|，代入韋達(dá)定理，化簡整理，結(jié)合N在橢圓內(nèi)，運(yùn)用對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最大值．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同時(shí)滿足條件：
①x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
則m的取值范圍是

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【題目】某市教育與環(huán)保部門聯(lián)合組織該市中學(xué)參加市中學(xué)生環(huán)保知識團(tuán)體競賽，根據(jù)比賽規(guī)則，某中學(xué)選拔出8名同學(xué)組成參賽隊(duì)，其中初中學(xué)部選出的3名同學(xué)有2名女生；高中學(xué)部選出的5名同學(xué)有3名女生，競賽組委會將從這8名同學(xué)中隨機(jī)選出4人參加比賽．
（1）設(shè)“選出的4人中恰有2名女生，而且這2名女生來自同一個(gè)學(xué)部”為事件A，求事件A的概率P（A）；
（2）設(shè)X為選出的4人中女生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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【題目】已知橢圓．

（1）若橢圓的離心率為，求的值；

（2）若過點(diǎn)任作一條直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得 若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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【題目】如圖所示的圖形是由一個(gè)半徑為2的圓和兩個(gè)半徑為1的半圓組成，它們的圓心分別為O，O1 ， O2 ． 動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓弧按A→O→B→C→A→D→B的路線運(yùn)動（其中A，O1 ， O，O2 ， B五點(diǎn)共線），記點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x，設(shè)y=|O1P|2 ， y與x的函數(shù)關(guān)系為y=f（x），則y=f（x）的大致圖象是（ ）

A.
B.
C.
D.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過n（）個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為n階整點(diǎn)函數(shù)。有下列函數(shù):

① ② ③ ④

其中是一階整點(diǎn)的是（ ）

A. ①②③④ B. ①③④ C. ④ D. ①④

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【題目】如圖可能是下列哪個(gè)函數(shù)的圖象（ ）

A.y=2x﹣x2﹣1
B.y=
C.y=（x2﹣2x）ex
D.y=

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【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足向量 =（cosA，cosB）， =（a，2c﹣b）， ∥ ．
（1）求角A的大�。�
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（1）求證：平面A1BD⊥平面A1AC；
（2）若BD= D=2，求平面A1BD與平面B1BD所成角的大�。�

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