Question

19．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2x+2．
（1）當x∈[0，4]時，求f（x）的最大值、最小值；
（2）當x∈[t，t+1]時，t∈R，求f（x）的最大、最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=x²-2x+2的圖象和性質，分析當x∈[0，4]時，函數(shù)的單調(diào)性，進而可得f（x）的最大值、最小值；
（2）先將函數(shù)f（x）進行配方，得到對稱軸，然后討論對稱軸與區(qū)間[t，t+1]的位置關系，從而得到最小值和最大值．、

解答 解：二次函數(shù)f（x）=x²-2x+2的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
（1）當x∈[0，4]時，
函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，在[1，4]上為增函數(shù)，
故當x=1時，函數(shù)取最小值1，當x=4時，函數(shù)取最大值10，
（2）當t＞1時，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，
∴當x=t時，函數(shù)取最小值t²-2t+2，
當x=t+1時，函數(shù)取最大值t²+1，
當$\frac{1}{2}$≤t≤1時，
當x=1時，函數(shù)取最小值1，
當x=t+1時，函數(shù)取最大值t²+1，
當0≤t$＜\frac{1}{2}$時，
當x=1時，函數(shù)取最小值1，
當x=t時，函數(shù)取最大值t²-2t+2，
當t+1＜1，即t＜0時，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上是減函數(shù)，
當x=t時，函數(shù)取最大值t²-2t+2，
當x=t+1時，函數(shù)取最小值t²+1，

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解答的關鍵．