Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，求S_n+1-4S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）整理a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），判斷出數(shù)列{a_n-n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列．
（2）由（Ⅰ）可知a_n-n，進而求得a_n，進而利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式求得答案．

解答：解：（1）由題設(shè)a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．
又a₁-1=1，
所以數(shù)列{a_n-n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列．
（2）由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，
于是數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4^n-1+n．
所以數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

，S_n+1=

4n+1-1

3

+

(n+2)(n+1)

2

所以S_n+1-4S_n=-

1

2

（3n²+n-4），
故n=1，最大值為：0．

點評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列的求和．考查了數(shù)列基礎(chǔ)知識的運用．