Question

已知動點M（x，y）到直線l：x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍．
（Ⅰ） 求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ） 過點P（0，3）的直線m與軌跡C交于A，B兩點．若A是PB的中點，求直線m的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接由題目給出的條件列式化簡即可得到動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）經(jīng)分析當直線m的斜率不存在時，不滿足A是PB的中點，然后設出直線m的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后整理，利用根與系數(shù)關系寫出x₁+x₂，x₁x₂，結合2x₁=x₂得到關于k的方程，則直線m的斜率可求．
解答：解：（Ⅰ）點M（x，y）到直線x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍，則
|x-4|=2，即（x-4）²=4[（x-1）²+y²]，
整理得．
所以，動點M的軌跡是橢圓，方程為；
（Ⅱ）P（0，3），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由A是PB的中點，得2x₁=0+x₂，2y₁=3+y₂．
橢圓的上下頂點坐標分別是和，經(jīng)檢驗直線m不經(jīng)過這兩點，即直線m的斜率k存在．
設直線m的方程為：y=kx+3．
聯(lián)立，
整理得：（3+4k²）x²+24kx+24=0．
．
因為2x₁=x₂．
則，得，
所以．
即，解得．
所以，直線m的斜率．
點評：本題考查了曲線方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了學生的計算能力，關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，中點坐標公式進行求解，是中檔題．