Question

已知矩形ABCD，AD=2AB=2，點E是AD的中點，將△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'-EC-B是直二面角．
（1）證明：BE⊥CD’；
（2）求二面角D'-BC-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）一般是通過證明線面垂直得到線線垂直，即證明其中一條直線與另一條直線所在的平面垂直．
（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空間直角坐標系利用向量的一個運算求出兩個平面的法向量，進而求出二面角的余弦值．

解答：解：（1）證明：∵AD=2AB=2，E是AD的中點，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．               
（2）如圖，以EB，EC為x軸、y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系．
則B(

2

，0，0)，C(0，

2

，0)，D′(0，

2

2

，

2

2

)
設平面BEC的法向量為

.

n1

=(0，0，1)；平面D'BC的法向量為

n

=(x2，y2，z2)

BC

=(-

2

，

2

，0)，

D′C

=(0，

2

2

，-

2

2

)，

n2 • BC =0 n2 • D′C =0

代入整理可得：

- 2 x2+ 2 y2=0 2 2 y2- 2 2 z2=0

不妨取x₂=l
得

n2

=(1，1，1)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

3

∴二面角D'-BC-E的余弦值為

3

3

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便于正確利用線面垂直與線面平行關(guān)系，并且利于建立坐標系利用向量法解決空間角與空間建立問題．